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<!DOCTYPE html>

<title>C0-Funktion</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">C0-Funktion</h1>

</header>

</div>

In der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> ist eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23da38e31194b9ae0524ec18c8489693f3be5389.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{0}}" loading="lazy">-Funktion eine <a href="Stetig" class="mw-redirect" title="Stetig">stetige</a> <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a>, die anschaulich betrachtet im Unendlichen verschwindet. Die Menge aller <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23da38e31194b9ae0524ec18c8489693f3be5389.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{0}}" loading="lazy">-Funktionen bildet einen <a href="Normierter_Raum" title="Normierter Raum">normierten Raum</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> ein <a href="Topologischer_Raum" title="Topologischer Raum">topologischer Raum</a> (beispielsweise die <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen Zahlen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"> oder der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy">). Eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {K} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {K} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4310d776e774c446a73eb36cf6147380293cf960.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.715ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {K} }" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aaa0cac96c9853f0cba61605679cf8963983b5d9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.585ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a1a8ee77fce00b8ddbd288a297dccae8eab7f8f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.585ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }" loading="lazy"> verschwindet im Unendlichen genau dann, wenn für jede <a href="Umgebung_(Mathematik)" title="Umgebung (Mathematik)">Umgebung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\subset \mathbb {K} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\subset \mathbb {K} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0b8d7e98d6471318799c4e1afcfa3c499226f6d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.689ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U\subset \mathbb {K} }" loading="lazy"> der Null eine <a href="Kompakter_Raum" title="Kompakter Raum">kompakte Teilmenge</a> (im Falle des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> eine <a href="Beschr%C3%A4nkte_Menge" title="Beschränkte Menge">beschränkte Teilmenge</a>) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> existiert, sodass das Bild <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(X\setminus K)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X\setminus K)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/50b65e81c4111a4d8b52589ccb41543bca8d01ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.329ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(X\setminus K)}" loading="lazy"> Teilmenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> ist. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> zudem stetig, so nennt man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23da38e31194b9ae0524ec18c8489693f3be5389.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{0}}" loading="lazy">-Funktion. Die Menge aller dieser Funktionen wird mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X,\mathbb {K} )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X,\mathbb {K} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9a142ec8aa0315c8c2b0d18736897e63004ea05.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.347ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X,\mathbb {K} )}" loading="lazy"> oder – falls keine Missverständnisse zu befürchten sind – mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8b02a2b4383e3de2771e332ae73ab7d1b66cfc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X)}" loading="lazy"> bezeichnet.

Man betrachtet diesen Begriff dabei nur für <a href="Lokalkompakt" class="mw-redirect" title="Lokalkompakt">lokalkompakte</a> <a href="Hausdorffraum" class="mw-redirect" title="Hausdorffraum">Hausdorffräume</a>, denn für einen nicht lokalkompakten Hausdorffraum müssten alle Punkte ohne eine kompakte Umgebung Nullstellen einer jeden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23da38e31194b9ae0524ec18c8489693f3be5389.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{0}}" loading="lazy">-Funktion sein: Keine Umgebung des jeweiligen Punktes ist in einem Kompaktum enthalten, somit werden in jeder Umgebung von der Funktion Werte beliebig nahe der Null angenommen, aufgrund der Stetigkeit ist der Punkt damit Nullstelle. Somit wäre etwa in jedem nicht lokalkompakten, <a href="Homogener_Raum" title="Homogener Raum">homogenen</a> Hausdorffraum – typisches Beispiel wäre ein unendlichdimensionaler <a href="Normierter_Raum" title="Normierter Raum">normierter Raum</a> (siehe auch <a href="Kompaktheitssatz_von_Riesz" title="Kompaktheitssatz von Riesz">Kompaktheitssatz von Riesz</a>) – jede <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23da38e31194b9ae0524ec18c8489693f3be5389.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{0}}" loading="lazy">-Funktion gleich 0. Daher sei im Folgenden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> stets lokalkompakt und Hausdorffsch.

Abstraktere Definition: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\in C(X)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\in C(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c69252285c28750ca365a65c3f0057779d54863a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.675ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\in C(X)}" loading="lazy"> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C(X)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3297669ebb5d9d3e5ce8d118b7ba75262c8bca5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.556ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C(X)}" loading="lazy"> sei der Raum aller stetigen Funktionen auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">) ist genau dann eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23da38e31194b9ae0524ec18c8489693f3be5389.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{0}}" loading="lazy">-Funktion, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> kompakt ist oder der Bildfilter unter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> des <a href="Filter_(Mathematik)" title="Filter (Mathematik)">Filters</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {F}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {F}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec863025da8f3844272a146530208eb001c3dddb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.423ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {F}}}" loading="lazy">, der von den Komplementen kompakter Teilmengen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> erzeugt wird, gegen 0 konvergiert.<a href="#cite_note-1">[1]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

<ul><li>Jede reelle Funktion, die außerhalb einer beschränkten Menge 0 ist, verschwindet im Unendlichen. Ist sie stetig, ist sie eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23da38e31194b9ae0524ec18c8489693f3be5389.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{0}}" loading="lazy">-Funktion.</li>

<li>Allgemeiner ist jede <a href="Stetige_Funktion_mit_kompaktem_Tr%C3%A4ger" title="Stetige Funktion mit kompaktem Träger">stetige Funktion mit kompaktem Träger</a> eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23da38e31194b9ae0524ec18c8489693f3be5389.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{0}}" loading="lazy">-Funktion.</li>

<li>Insbesondere ist auch jede stetige Funktion auf einem kompakten Raum eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23da38e31194b9ae0524ec18c8489693f3be5389.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{0}}" loading="lazy">-Funktion.</li>

<li>Die <a href="Dichtefunktion" title="Dichtefunktion">Dichtefunktion</a> einer <a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">Normalverteilung</a>, im Wesentlichen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\mapsto \exp(-x^{2})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto \exp(-x^{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e38c6a8ffa0be19eeb57e8f029a5236605bec87.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.498ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto \exp(-x^{2})}" loading="lazy"> zuzüglich Skalierungen und Verschiebungen, ist eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23da38e31194b9ae0524ec18c8489693f3be5389.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{0}}" loading="lazy">-Funktion.</li>

<li>Eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1cacd5f7bbe1027cc75fbe2fbd9cb5e79485302.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.283ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }" loading="lazy"> ist genau dann eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23da38e31194b9ae0524ec18c8489693f3be5389.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{0}}" loading="lazy">-Funktion, wenn sie stetig ist und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }f(x)=0}">

</mrow>

</munder>

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }f(x)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12adfd25846dbdb36ebb7db7410adfd1ccf62666.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.902ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }f(x)=0}" loading="lazy"> gilt.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> <a href="Diskrete_Topologie" title="Diskrete Topologie">diskret</a>. Die kompakten Mengen sind dann genau die endlichen Mengen. Das heißt, eine Funktion liegt genau dann in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8b02a2b4383e3de2771e332ae73ab7d1b66cfc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X)}" loading="lazy">, wenn sie für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy"> nur endlich viele Male einen Wert annimmt, der betragsmäßig größer als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy"> ist. Die Forderung nach Stetigkeit ist in diesem Fall keine Einschränkung, da jede Funktion auf einem diskreten Raum stetig ist. Man bezeichnet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8b02a2b4383e3de2771e332ae73ab7d1b66cfc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X)}" loading="lazy"> dann als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/14a298819a8fe18e81bc379ea27dcb0dd22893e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.85ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle c_{0}(X)}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> eine beliebige Menge sei, die topologische Struktur also nicht vorausgesetzt wird. Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X=\mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X=\mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a068782b0b85da54b11a2a5dd31b83ff99bd2f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.757ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X=\mathbb {N} }" loading="lazy"> ist dies gerade der <a href="Folgenraum" title="Folgenraum">Folgenraum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1882ba8f1dc60f0c68a642abb5af093c73910921.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.061ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{0}}" loading="lazy"> aller <a href="Nullfolge" title="Nullfolge">Nullfolgen</a>.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> nicht kompakt, so ist die <a href="Konstante_Funktion" title="Konstante Funktion">konstante Funktion</a> mit Wert 1 stetig, aber nicht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23da38e31194b9ae0524ec18c8489693f3be5389.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{0}}" loading="lazy">.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Normierter_Raum">Normierter Raum</h2></div>

Die Summe von zwei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23da38e31194b9ae0524ec18c8489693f3be5389.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{0}}" loading="lazy">-Funktionen ist wiederum eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23da38e31194b9ae0524ec18c8489693f3be5389.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{0}}" loading="lazy">-Funktion, ebenso das punktweise Produkt mit einer reellen bzw. komplexen Zahl. Damit bildet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8b02a2b4383e3de2771e332ae73ab7d1b66cfc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X)}" loading="lazy"> einen Vektorraum. Zudem ist jede <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23da38e31194b9ae0524ec18c8489693f3be5389.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{0}}" loading="lazy">-Funktion beschränkt: Sei hierfür <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> ein Kompaktum, dessen Existenz nach Definition garantiert ist, sodass außerhalb dieses Kompaktums die Funktion betragsmäßig kleiner als eine beliebige positive reelle Zahl wird. Somit ist die Funktion außerhalb des Kompaktums beschränkt. Innerhalb des Kompaktums ist sie ebenfalls beschränkt, da eine stetige Funktion auf einem Kompaktum stets beschränkt ist. Somit ist die Funktion auf dem ganzen Raum beschränkt. Daher lässt sich der Raum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8b02a2b4383e3de2771e332ae73ab7d1b66cfc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X)}" loading="lazy"> mit der <a href="Supremumsnorm" title="Supremumsnorm">Supremumsnorm</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b723232adf7317abb1fc1c1326e1e4f79616a7e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.879ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}" loading="lazy"> ausstatten. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8b02a2b4383e3de2771e332ae73ab7d1b66cfc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X)}" loading="lazy"> wird damit zu einem <a href="Normierter_Raum" title="Normierter Raum">normierten Raum</a>. Dieser ist <a href="Vollst%C3%A4ndiger_Raum" title="Vollständiger Raum">vollständig</a> bezüglich der Norm und somit ein <a href="Banachraum" title="Banachraum">Banachraum</a>. Er kann als <a href="Abgeschlossene_Menge" title="Abgeschlossene Menge">abgeschlossener</a> <a href="Untervektorraum" title="Untervektorraum">Untervektorraum</a>, d. h. als Unterbanachraum, des Raumes aller beschränkten Funktionen mit der Supremumsnorm aufgefasst werden.

Die stetigen Funktionen mit kompaktem <a href="Tr%C3%A4ger_(Mathematik)" title="Träger (Mathematik)">Träger</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{c}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{c}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/802e8e92a77d99fe2e532cf69eb9dacec0097ada.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.395ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{c}(X)}" loading="lazy"> bilden einen <a href="Dichte_Teilmenge" title="Dichte Teilmenge">dichten</a> <a href="Untervektorraum" title="Untervektorraum">Untervektorraum</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8b02a2b4383e3de2771e332ae73ab7d1b66cfc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X)}" loading="lazy">. Man sieht leicht ein, dass jeder gleichmäßige Limes (d. h. bezüglich der Supremumsnorm) von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{c}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{c}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/671b82c8d748437191d28baaa2210758825b723c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.606ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{c}}" loading="lazy">-Funktionen eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23da38e31194b9ae0524ec18c8489693f3be5389.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{0}}" loading="lazy">-Funktion ist. Umgekehrt nutzt man die Tatsache aus, dass in einem lokalkompakten Raum für jede kompakte Teilmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> eine stetige Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\colon X\to [0,1]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon X\to [0,1]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/474f04a340a6310b9458d780684251fce987ee08.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.397ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g\colon X\to [0,1]}" loading="lazy"> mit kompaktem Träger existiert, die auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> den Wert 1 annimmt (siehe auch <a href="Zerlegung_der_Eins" title="Zerlegung der Eins">Zerlegung der Eins</a>): Seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\in C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\in C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db536f13fd13ad4726e015e1aec9dde95502e4a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.625ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\in C_{0}(X)}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon >0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |f(x)|<\varepsilon }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |f(x)|<\varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/da9fcd5d6476a1c750acf94e3e71036926e4602a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.893ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |f(x)|<\varepsilon }" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\notin K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\notin K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db0f090dd018a3f6512761a83940d9227493e69d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.236ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x\notin K}" loading="lazy">. Wähle eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> wie oben beschrieben. Dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle fg\in C_{c}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle fg\in C_{c}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2d02249b819ee6512806ce8b39d23189c14e819d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.631ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle fg\in C_{c}(X)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|fg-f\|_{\infty }<\varepsilon }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|fg-f\|_{\infty }<\varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/03b097b3a143871c90f9e2f84c416bb3474250e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.896ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|fg-f\|_{\infty }<\varepsilon }" loading="lazy">.<a href="#cite_note-2">[2]</a> Beispiel: Im Fall von Folgenräumen bezeichnet man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{c}(\mathbb {N} )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{c}(\mathbb {N} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98e27bb625b74d90f3c6c93bb6df952f42f3bca1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.093ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{c}(\mathbb {N} )}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }" loading="lazy"> versehen mit der diskreten Topologie, als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{00}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{00}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e27c5ab99b38e2a5159eaac0f6849f1b6ceb8130.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.883ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{00}}" loading="lazy">, das ist die Menge aller Folgen, die schließlich nur noch den Wert 0 annehmen. Diese ist dicht im Raum der Nullfolgen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1882ba8f1dc60f0c68a642abb5af093c73910921.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.061ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{0}}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Algebra">Algebra</h2></div>

Das punktweise Produkt von zwei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23da38e31194b9ae0524ec18c8489693f3be5389.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{0}}" loading="lazy">-Funktionen ist wiederum eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23da38e31194b9ae0524ec18c8489693f3be5389.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{0}}" loading="lazy">-Funktion, somit bildet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8b02a2b4383e3de2771e332ae73ab7d1b66cfc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X)}" loading="lazy"> eine <a href="Kommutativ" class="mw-redirect" title="Kommutativ">kommutative</a> <a href="Algebra_(Struktur)" class="mw-redirect" title="Algebra (Struktur)">Algebra</a>. Sogar das Produkt einer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23da38e31194b9ae0524ec18c8489693f3be5389.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{0}}" loading="lazy">-Funktion mit einer beliebigen beschränkten stetigen Funktion ist wiederum eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23da38e31194b9ae0524ec18c8489693f3be5389.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{0}}" loading="lazy">-Funktion, womit sie ein abgeschlossenes <a href="Ideal_(Ringtheorie)" title="Ideal (Ringtheorie)">Ideal</a> im Raum der beschränkten Funktionen bilden. Offenbar gilt für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,g\in C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,g\in C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5b1574c602217fbd614947b80531690ae7be5c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.775ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f,g\in C_{0}(X)}" loading="lazy"> die Ungleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|f\cdot g\|_{\infty }\leq \|f\|_{\infty }\|g\|_{\infty }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|f\cdot g\|_{\infty }\leq \|f\|_{\infty }\|g\|_{\infty }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e106ef13854ac784290ff09296467d74637554f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|f\cdot g\|_{\infty }\leq \|f\|_{\infty }\|g\|_{\infty }}" loading="lazy">. Daher ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8b02a2b4383e3de2771e332ae73ab7d1b66cfc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X)}" loading="lazy"> eine <a href="Banach-Algebra" class="mw-redirect" title="Banach-Algebra">Banach-Algebra</a>. Sei nun <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/190a73fde235865b8d2a783334f90194331c7f19.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.375ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle f^{*}}" loading="lazy"> die punktweise <a href="Komplexe_Konjugation" title="Komplexe Konjugation">komplexe Konjugation</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> bzw. einfach nur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> im reellen Fall, dann gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|f^{*}f\|_{\infty }=\|f\|_{\infty }^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|f^{*}f\|_{\infty }=\|f\|_{\infty }^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a7df8abb7017bda9ed79b5cf28b68ffa4e63234.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.431ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \|f^{*}f\|_{\infty }=\|f\|_{\infty }^{2}}" loading="lazy">. Daher bildet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8b02a2b4383e3de2771e332ae73ab7d1b66cfc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X)}" loading="lazy"> mit dieser <a href="Involution_(Mathematik)" title="Involution (Mathematik)">Involution</a> sogar eine kommutative <a href="C*-Algebra" title="C*-Algebra">C*-Algebra</a>. Nach dem <a href="Satz_von_Gelfand-Neumark" title="Satz von Gelfand-Neumark">Satz von Gelfand-Neumark</a> ist jede kommutative, komplexe C*-Algebra <a href="Isomorph" class="mw-redirect" title="Isomorph">isomorph</a> zu einem Raum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X,\mathbb {C} )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X,\mathbb {C} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86b7e0d717b94f8f027fd1a132efd4fa00814753.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.217ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X,\mathbb {C} )}" loading="lazy"> für einen lokalkompakten Hausdorffraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">. Es ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{c}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{c}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/802e8e92a77d99fe2e532cf69eb9dacec0097ada.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.395ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{c}(X)}" loading="lazy"> ein Ideal in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8b02a2b4383e3de2771e332ae73ab7d1b66cfc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X)}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Alexandroff-Kompaktifizierung">Alexandroff-Kompaktifizierung</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Alexandroff-Kompaktifizierung" title="Alexandroff-Kompaktifizierung">Alexandroff-Kompaktifizierung</a></div>

Sei in diesem Abschnitt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> nicht kompakt. Der oben definierte Filter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {F}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {F}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec863025da8f3844272a146530208eb001c3dddb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.423ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {F}}}" loading="lazy"> konvergiert nicht auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">, wohl aber sein Bildfilter. Die Alexandroff-Kompaktifizierung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {X}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {X}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90b968141b314f4de17f5e63f18dcdc126352bac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\bar {X}}}" loading="lazy"> des Raums <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> ist nun der Raum ergänzt um einen unendlich fernen Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c26c105004f30c27aa7c2a9c601550a4183b1f21.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \infty }" loading="lazy">, gegen den dieser Filter konvergieren möge. Seine Umgebungen seien gerade die Elemente von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {F}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {F}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec863025da8f3844272a146530208eb001c3dddb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.423ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {F}}}" loading="lazy"> vereinigt mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{\infty \}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{\infty \}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae6c3e2e2731dc4744f6a8fc209836eac8f85496.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.649ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{\infty \}}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {\mathfrak {F}}}:=\{U\cup \{\infty \}\mid U\in {\mathfrak {F}}\}}">

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {\mathfrak {F}}}:=\{U\cup \{\infty \}\mid U\in {\mathfrak {F}}\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01acaa99535f2f14b28d0b6b4923de2f5774e87b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.49ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\bar {\mathfrak {F}}}:=\{U\cup \{\infty \}\mid U\in {\mathfrak {F}}\}}" loading="lazy">. Dieser Raum ist kompakt und jede Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\in C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\in C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db536f13fd13ad4726e015e1aec9dde95502e4a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.625ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\in C_{0}(X)}" loading="lazy"> lässt sich zu einer Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {f}}\colon X\to \mathbb {K} }">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {f}}\colon X\to \mathbb {K} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4786013ad9a109629961fdc29e5ace87cac1a5b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.135ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\bar {f}}\colon X\to \mathbb {K} }" loading="lazy"> fortsetzen mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(\infty )=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(\infty )=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c07151c67ec0d755c7fbb93caf8dc137a1ed863a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.673ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(\infty )=0}" loading="lazy">. Diese Fortsetzung ist stetig, denn das Bild von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {\mathfrak {F}}}}">

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {\mathfrak {F}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/44cdb89cc63553c7f404293e40bdb136f047b05e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.423ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\bar {\mathfrak {F}}}}" loading="lazy"> konvergiert gegen 0, das Bild von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c26c105004f30c27aa7c2a9c601550a4183b1f21.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \infty }" loading="lazy">. Umgekehrt lässt sich zeigen, dass sich eine Funktion auf einem lokalkompakten Hausdorffraum genau dann zu einer stetigen Funktion auf der Alexandroff-Kompaktifizierung fortsetzen lässt, wenn sie die Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k+f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k+f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6edb713e2c0b2d9a3bdf322029f98ba63b639d45.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.33ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k+f}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\in \mathbb {K} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\in \mathbb {K} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9453ff8ed28bb5750878429a78d7e0c7e9dcabc6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.86ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k\in \mathbb {K} }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\in C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\in C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db536f13fd13ad4726e015e1aec9dde95502e4a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.625ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\in C_{0}(X)}" loading="lazy"> hat.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Satz_von_Stone-Weierstraß_und_Separabilität">Satz von Stone-Weierstraß und Separabilität</h2></div>

Durch Fortsetzung auf die Alexandroff-Kompaktifizierung lässt sich der <a href="Satz_von_Stone-Weierstra%C3%9F" title="Satz von Stone-Weierstraß">Satz von Stone-Weierstraß</a> von stetigen Funktionen auf einem kompakten Raum auf die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23da38e31194b9ae0524ec18c8489693f3be5389.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{0}}" loading="lazy">-Funktionen auf einem lokalkompakten Raum übertragen: Es gilt, dass jede abgeschlossene, <a href="Punktetrennend" class="mw-redirect" title="Punktetrennend">punktetrennende</a>, involutive (d. h. auch unter der Konjugation abgeschlossene) Unteralgebra von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8b02a2b4383e3de2771e332ae73ab7d1b66cfc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X)}" loading="lazy"> entweder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8b02a2b4383e3de2771e332ae73ab7d1b66cfc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X)}" loading="lazy"> selbst oder eine Unteralgebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{f\in C_{0}(X)\mid f(x_{0})=0\}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{f\in C_{0}(X)\mid f(x_{0})=0\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ca4ccd4c5810023b7e134748f3bf699698bc2ff4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.619ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{f\in C_{0}(X)\mid f(x_{0})=0\}}" loading="lazy"> für ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}\in X}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}\in X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b79e955b57dd7aada93b8afd459996ae941d480.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.205ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}\in X}" loading="lazy"> ist. Somit folgt wiederum, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{c}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{c}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/802e8e92a77d99fe2e532cf69eb9dacec0097ada.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.395ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{c}(X)}" loading="lazy"> dicht in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8b02a2b4383e3de2771e332ae73ab7d1b66cfc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X)}" loading="lazy"> liegt.

Unter Verwendung des Satzes von Stone-Weierstraß lässt sich zeigen, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8b02a2b4383e3de2771e332ae73ab7d1b66cfc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X)}" loading="lazy"> genau dann <a href="Separabler_Raum" title="Separabler Raum">separabel</a> ist, wenn der Raum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> das <a href="Zweites_Abz%C3%A4hlbarkeitsaxiom" class="mw-redirect" title="Zweites Abzählbarkeitsaxiom">zweite Abzählbarkeitsaxiom</a> erfüllt.<a href="#cite_note-3">[3]</a> Erfülle zunächst <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> das zweite Abzählbarkeitsaxiom. Man wähle nun eine <a href="Abz%C3%A4hlbare_Menge" title="Abzählbare Menge">abzählbare</a> <a href="Basis_(Topologie)" title="Basis (Topologie)">Basis</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {B}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {B}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5622de88a69f68340f8dcb43d0b8bd443ba9e13.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.543ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {B}}}" loading="lazy"> der Topologie aus <a href="Relativ_kompakt" class="mw-redirect" title="Relativ kompakt">relativ kompakten</a> Teilmengen, dies ist möglich, indem man aus einer abzählbaren Basis einfach alle nicht relativ kompakten Elemente streicht. Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {U}}\subset V}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {U}}\subset V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/053e76b497658055c9bf52ce817bf0be2e86496b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.91ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {U}}\subset V}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U,V\in {\mathcal {B}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U,V\in {\mathcal {B}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0c2453ce116a86a441f0c729bdc0e57d1151854.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.988ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle U,V\in {\mathcal {B}}}" loading="lazy"> wähle eine stetige Funktion, die den Wert 1 auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {U}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {U}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19c0e1c90cfd1f74816d2ac331fe88656cfe260d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.024ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {U}}}" loading="lazy"> und 0 außerhalb von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> annimmt. So erhält man eine abzählbare Menge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{c}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{c}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/671b82c8d748437191d28baaa2210758825b723c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.606ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{c}}" loading="lazy">-Funktionen, die sich zu einer abzählbaren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }" loading="lazy">- (bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} [i]}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} [i]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e7a276ee6570ccf3442fec679caec100b0274d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.904ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} [i]}" loading="lazy">- im komplexen Fall) Unteralgebra ergänzen lässt. Diese ist punktetrennend und an keinem Punkt stets 0, denn für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,y\in X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,y\in X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d72f66ab332ed430aa9b34ff18c9723c4fea2a1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.34ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x,y\in X}" loading="lazy"> gibt es Umgebungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U,V\in {\mathcal {B}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U,V\in {\mathcal {B}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0c2453ce116a86a441f0c729bdc0e57d1151854.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.988ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle U,V\in {\mathcal {B}}}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {U}}\subset V}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {U}}\subset V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/053e76b497658055c9bf52ce817bf0be2e86496b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.91ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {U}}\subset V}" loading="lazy">, die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> nicht enthalten. Die entsprechende Funktion nimmt dann bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> den Wert 1 und bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> den Wert 0 an. Damit ist diese Unteralgebra nach dem Satz von Stone-Weierstraß dicht in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8b02a2b4383e3de2771e332ae73ab7d1b66cfc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X)}" loading="lazy">. Umgekehrt folgt aus der Separabilität von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8b02a2b4383e3de2771e332ae73ab7d1b66cfc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X)}" loading="lazy"> auch, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt: Sei eine abzählbare dichte Teilmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8b02a2b4383e3de2771e332ae73ab7d1b66cfc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X)}" loading="lazy"> gegeben. Diese trennt Punkte von abgeschlossenen Mengen, denn für jeden Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> und jede abgeschlossene Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\not \ni x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\not \ni x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a973b7d46e462113d723eabb40b0d79116634e41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.915ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A\not \ni x}" loading="lazy"> existiert eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23da38e31194b9ae0524ec18c8489693f3be5389.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{0}}" loading="lazy">-Funktion, die auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> den Wert 0 und bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> den Wert 1 annimmt, also auch eine Funktion in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy">, die auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> betragsmäßig kleiner als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f4b147775b52f71eacf8937ff124ac92f0574d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:1.658ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}}" loading="lazy"> und bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> betragsmäßig größer als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f4b147775b52f71eacf8937ff124ac92f0574d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:1.658ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}}" loading="lazy"> ist. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> trägt somit die Initialtopologie bezüglich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-4">[4]</a> Eine abzählbare <a href="Subbasis" title="Subbasis">Subbasis</a> und damit eine abzählbare Basis ergeben sich aus den Urbildern bezüglich der Funktionen in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> einer abzählbaren Basis in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {K} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {K} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1848c435e64864e9ad4efa7e46bd6bc900c35c99.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {K} }" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Dualraum">Dualraum</h2></div>

Nach einer Variante des <a href="Darstellungssatz_von_Riesz-Markow" title="Darstellungssatz von Riesz-Markow">Darstellungssatzes von Riesz-Markow</a> entsprechen die <a href="Positiver_Operator" title="Positiver Operator">positiven</a> (linearen) <a href="Funktional" title="Funktional">Funktionale</a> auf dem Raum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{c}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{c}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/802e8e92a77d99fe2e532cf69eb9dacec0097ada.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.395ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{c}(X)}" loading="lazy"> der stetigen Funktionen mit kompakten Träger genau dem Raum der <a href="Regul%C3%A4res_Ma%C3%9F" title="Reguläres Maß">regulären Maße</a>, d. h., für jedes positive Funktional existiert ein reguläres Maß <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy">, sodass das Funktional nichts anderes als die Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\mapsto \textstyle \int f\mathrm {d} \mu }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\mapsto \textstyle \int f\mathrm {d} \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5847b1b6a55970f4949e316a333c29de5c7a0f08.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.67ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f\mapsto \textstyle \int f\mathrm {d} \mu }" loading="lazy"> ist. Ein solches Funktional lässt sich genau dann zu einem stetigen Funktional auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8b02a2b4383e3de2771e332ae73ab7d1b66cfc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X)}" loading="lazy"> fortsetzen, wenn es selbst stetig, das heißt beschränkt ist, denn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8b02a2b4383e3de2771e332ae73ab7d1b66cfc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X)}" loading="lazy"> ist die Vervollständigung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{c}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{c}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/802e8e92a77d99fe2e532cf69eb9dacec0097ada.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.395ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{c}(X)}" loading="lazy"> und die Fortsetzbarkeit ergibt sich direkt aus der <a href="Universelle_Eigenschaft" title="Universelle Eigenschaft">universellen Eigenschaft</a> der Vervollständigung. Diese Fortsetzung ist eindeutig. Umgekehrt lässt sich natürlich jedes positive stetige Funktional auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8b02a2b4383e3de2771e332ae73ab7d1b66cfc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X)}" loading="lazy"> zu einem auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{c}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{c}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/802e8e92a77d99fe2e532cf69eb9dacec0097ada.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.395ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{c}(X)}" loading="lazy"> einschränken. Die positiven stetigen Funktionale auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8b02a2b4383e3de2771e332ae73ab7d1b66cfc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X)}" loading="lazy"> entsprechen somit genau den regulären, endlichen Maßen auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">. Jedes Element des <a href="Dualraum" title="Dualraum">Dualraums</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X)^{\prime }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X)^{\prime }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ae5ec0ed8662e1b6ea7b8fb74fe8dac482cefda.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.19ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X)^{\prime }}" loading="lazy">, d. h. jedes stetige Funktional auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8b02a2b4383e3de2771e332ae73ab7d1b66cfc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X)}" loading="lazy">, lässt sich als Differenz zweier positiver stetiger Funktionale (im komplexen Fall kommen positive und negative imaginäre Komponenten hinzu) darstellen. Diese entsprechen endlichen regulären Maßen, die sich mittels der <a href="Hahn-Jordan-Zerlegung" title="Hahn-Jordan-Zerlegung">Hahn-Jordan-Zerlegung</a> wiederum zu einem <a href="Signiertes_Ma%C3%9F" title="Signiertes Maß">signierten Maß</a> (bzw. im komplexen Fall <a href="Komplexes_Ma%C3%9F" title="Komplexes Maß">komplexen Maß</a>) zusammensetzen lassen. Der Dualraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X)^{\prime }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X)^{\prime }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ae5ec0ed8662e1b6ea7b8fb74fe8dac482cefda.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.19ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X)^{\prime }}" loading="lazy"> entspricht damit genau den regulären, endlichen signierten bzw. komplexen Maßen. Genauer: Stattet man diese Maße mit der <a href="Variationsnorm" class="mw-redirect" title="Variationsnorm">Variationsnorm</a> aus (für positive Maße ist das gerade das Maß des gesamten Raumes), bilden sie einen Banachraum, der <a href="Isometrische_Isomorphie" title="Isometrische Isomorphie">isomorph</a> zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X)^{\prime }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X)^{\prime }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ae5ec0ed8662e1b6ea7b8fb74fe8dac482cefda.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.19ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X)^{\prime }}" loading="lazy"> ist mittels des Isomorphismus, der jedem regulären, endlichen signierten bzw. komplexen Maß <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> das Funktional <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\mapsto \textstyle \int f\mathrm {d} \mu }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\mapsto \textstyle \int f\mathrm {d} \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5847b1b6a55970f4949e316a333c29de5c7a0f08.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.67ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f\mapsto \textstyle \int f\mathrm {d} \mu }" loading="lazy"> zuordnet.<a href="#cite_note-5">[5]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Schwartz-Raum" title="Schwartz-Raum">Schwartz-Raum</a></li>

<li><a href="Testfunktion" title="Testfunktion">Testfunktion</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a href="Alexander_Grothendieck" title="Alexander Grothendieck">Alexander Grothendieck</a>: <cite style="font-style:italic">Topological vector spaces</cite>. Gordon & Breach, 1973, ISBN 0-677-30025-5, S. 29.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:C0-Funktion&rft.au=Alexander+Grothendieck&rft.btitle=Topological+vector+spaces&rft.date=1973&rft.genre=book&rft.isbn=0677300255&rft.pages=29&rft.pub=Gordon+%26+Breach" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Gerald B. Folland: <cite style="font-style:italic">Real Analysis</cite>. Modern Techniques and Their Applications. 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York 1999, ISBN 0-471-31716-0, S. 132.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:C0-Funktion&rft.au=Gerald+B.+Folland&rft.btitle=Real+Analysis&rft.date=1999&rft.edition=2.&rft.genre=book&rft.isbn=0471317160&rft.pages=132&rft.place=New+York&rft.pub=John+Wiley+%26+Sons" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Chun-Yen Chou

, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://journal.taiwanmathsoc.org.tw/index.php/TJM/article/download/1786/1308">Notes on the separability of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fda87fa9eddc6a89e202bdebaa9a5e1a55dec9d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.852ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle C^{*}}" loading="lazy">-algebras</a>, Taiwanese Journal of Mathematics, 2012

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Stephen Willard: <cite style="font-style:italic">General Topology</cite>. <a href="Addison-Wesley" title="Addison-Wesley">Addison-Wesley</a>, 1970, S. 57.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:C0-Funktion&rft.au=Stephen+Willard&rft.btitle=General+Topology&rft.date=1970&rft.genre=book&rft.pages=57&rft.pub=Addison-Wesley" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Folland, S. 221 ff.

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>